Le van tam Số bi ít nhất là 483. Số bi trong hộp thứ 3 chính là số tự nhiên nhỏ nhất chia 5 dư 2, chia 7 dư 1, và chia hết cho 9. Tìm số này như sau, đầu tiên số tự nhiên nhỏ nhất chia 5 dư 2 là 2, cộng 5 liên tục vào số 2 cho đến khi được số chia 7 dư 1 thì được số 22 (=2 Cho tập A là tập hợp các số tự nhiên, mà mỗi số tự nhiên trong A đều chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5, hoặc chia hết cho cả 3 và 5. Trong đó có 2019 số chia hết cho 3; 2020 số chia hết cho 5, 195 số chia hết cho 15; Hỏi tập A có bao nhiêu phần tử A. 4234 B. 4039 C. 4235 D. 3844 Giải bởi Vietjack. Từ 15 đến 120 có các số chẵn là 16; 18; ; 120 gồm(120 - 16) : 2 + 1 = 53 số. Loại đi các số chia hết cho 5 là 20; 30;; 120 gồm (120 - 20) : 10 +1 =11 số. Còn lại 53 - 11 = 42 số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5. Bình luận hoặc Báo cáo. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 15? A A. 76 B B. 82 C C. 96 D D. 72 Giải Nội dung chính Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HNKhoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN1. Tìm dấu hiệu chia hết cho 52. Dấu hiệu chia hết cho 5 3. Bài tập vận dụng toán lớp 4 dấu hiệu chia hết cho 53.1. Đề bài3.2. Lời giải4. Bài tập tự luyện toán lớp 4 dấu hiệu chia hết cho 54.1. Đề bài4.2. Đáp * Hai số chia hết cho 11 là: 22 và 33. Ta có 22 + 33 = 55 ⋮ 11 * Hai số chia hết cho 13 là 26 và 39. Ta có 26 + 39 = 65 ⋮ 13. Hoạt động 3: Trang 22 Toán 6 tập 1 sgk chân trời sáng tạo. Trả lời: * Số chia hết cho 6 là 12, số không chia hết 6 là 10. 12 + 10 = 22 ⋮̸ 6. 12 - 10 = 2 ⋮̸ 7 App Vay Tiền. a. Xét n chẵn => n + 10 chẵn=> n + 10 n + 15 chẵn => chia hết cho 2Xét n lẻ=> n + 15 chẵn => n + 10 n + 15 chẵn => chia hết cho 2Vậy n + 10 n + 15 chia hết cho 2 với mọi nb. n n + 1 n + 2=> n + n + 1 + n + 2 => 3n + 3 Ta có 3n chia hết cho 3 ; 3 chia hết cho 3=> 3n + 3 chia hết cho 3Ta có n n + 1 là tích hai số liên tiếp chia hết cho 2Ta có n n + 2 tích hai số liên tiếp chia hết cho 2Và n n + 2 = + = 2n . n2 có cơ số 2 nên chia hết cho n n + 1 2n + 1 = n n + 1 n + 2 + n - 1 = n n + 1 n + 2 n - 1 n + 1 nCác số trên là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và chia hết cho 2 Một số chia cho 15 dư 3. Muốn số bị chia phải chia hết cho 15 mà thương không thay đối thì số đó phải bớt đi 3 đơn vị trừ đi số dư. Muôn thương giảm đi 2 đơn vị thì số bị chia phải bớt đi 2 lần số chia là 15 x 2 = 30 đơn vị Vậy muốn số bị chia phải chia hết cho 15 và thương giảm đi 2 đơn vị thì số đó phải bớt đi là 3 + 30 = 33 đơn vị Một số chia cho 15 dư 3. Muốn số bị chia phái chia hết cho 15 mà thương không thay đổi thì số đó phải bớt đi 3 đơn vị. Muốn thương tăng 2 đơn vị thì số bị chia phải tăng thêm 2 lần số chia là 15 x 2 = 30 đơn vị Muốn số vừa bớt 3 đơn vị, vừa tăng 30 đơn vị thì cuối cùng số đó phái tăng thêm là 30 - 3 = 27 đơn vị Vậy một số tăng thêm 27 đơn vị thì số đó sẽ chia hết cho 15 và thương tăng thêm 2 đơn vị. Selfomy Hỏi Đáp Học tập Toán Toán lớp 6 viết tất cả các số chia hết cho 15 3 Trả lời Các câu hỏi liên quan 3 câu trả lời lượt xem Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất chia hết cho 33 và tất cả các chữ số của N đều là số lẻ,không có 2 chữ số nào giống nhau. đã hỏi 9 tháng 1, 2018 trong Toán lớp 6 bởi Phạm Thị Bảo Ngọc 12 câu trả lời lượt xem co tat ca bao nhieu so nho hon 100 chia het cho 3 va 5 đã hỏi 30 tháng 10, 2016 trong Toán lớp 6 bởi Sharks Cử nhân điểm 0 câu trả lời 184 lượt xem đã hỏi 24 tháng 5, 2020 trong Toán lớp 11 bởi Mabelle Cử nhân điểm Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán lập số chia hết cho một số nào đó, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Tổ hợp và xác PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Phương pháp chung + Gọi số cần lập theo dạng $n = \overline {abc \ldots } .$ + Từ dữ liệu của bài toán tìm số các chọn $a$, $b$, $c$ … phù hợp. + Sử dụng các công cụ hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp kết hợp với hai quy tắc đếm suy ra số các số tự nhiên cần Bổ sung một số dấu hiệu chia hết Dấu hiệu chia hết cho $2$ Các số $x$ có tận cùng là $0$, $2$, $4$, $6$, $8$ thì chia hết cho $2.$ Dấu hiệu chia hết cho $3$ Các số $x$ có tổng các chữ số chia hết cho $3$ thì chia hết cho $3.$ Dấu hiệu chia hết cho $4$ Các số $x$ có hai chữ số tận cùng chia hết cho $4$ thì chia hết cho $4.$ Dấu hiệu chia hết cho $5$ Các số $x$ có tận cùng bằng $0$, $5$ thì chia hết cho $5.$ Dấu hiệu chia hết cho $6$ Các chữ số vừa có thể chia hết cho $2$ vừa có thể chia hết cho $3$ thì chia hết cho $6.$ Dấu hiệu chia hết cho $7$ Quy tắc thứ nhất Lấy chữ số đầu tiên bên trái nhân với $3$ rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của $7$; được bao nhiêu nhân với $3$ cộng với chữ số thứ ba rồi trừ cho bội của $7$; được bao nhiêu nhân với $3$ cộng với chữ số thứ tư rồi trừ cho bội của $7$ … Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho $7$ thì số đã cho chia hết cho $7.$ Quy tắc thứ hai Lấy chữ số đầu tiên bên phải nhân với $5$ rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của $7$; được bao nhiêu nhân với $5$ cộng với chữ số thứ ba rồi trừ cho bội của $7$; được bao nhiêu nhân với $5$ cộng với chữ số thứ tư rồi trừ cho bội của $7$ … Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho $7$ thì số đã cho chia hết cho $7.$ Dấu hiệu chia hết cho $8$ các số $x$ có ba chữ số tận cùng chia hết cho $8$ thì $x$ chia hết cho $8.$ Dấu hiệu chia hết cho $9$ Trong các số $x$ có tổng các chữ số chia hết cho $9$ thì $x$ chia hết cho $9.$ Dấu hiệu chia hết cho $10$ những số $x$ có tận cùng bằng $0$ thì chia hết cho $10.$B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5.$ Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau và chia hết cho $3$?Lời giải Gọi $n = \overline {abcde} $ là số tự nhiên cần tìm. Vì $n$ chia hết cho $3$ nên $a + b + c + d + e$ chia hết cho $3.$ Do đó $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ thuộc các tập số sau $\{ 0;1;2;4;5\} $, $\{ 1;2;3;4;5\} .$ + Với tập số $\{ 0;1;2;4;5\} $ thì Có $4$ cách chọn $a.$ Có $4!$ cách chọn $b$, $c$, $d$, $e.$ Suy ra trường hợp này có $ = 96$ số. Với tập số $\{ 1;2;3;4;5\} $ thì có $5! = 120$ số. Vậy tất cả có $96 + 120 = 216$ 2 Từ các số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho $5.$Lời giải Gọi $n = \overline {abcd} $ là số tự nhiên cần tìm. Vì $n$ chia hết cho $5$ nên $d$ có thể là $0$ hoặc $5.$ + Nếu $d = 0$, khi đó có $A_5^3 = 60$ số. + Nếu $d=5$, khi đó Có $4$ cách chọn $a.$ Có $A_4^2 = 12$ cách chọn $b$, $c.$ Suy ra có $ = 48$ số. Vậy tất cả có $60 + 48 = 108$ số. Bài 3 Cho tập $X = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7\} .$ Có thể lập được bao nhiêu số $n$ gồm $5$ chữ số khác nhau đôi một từ $X$ chữ số đầu tiên phải khác $0$ trong mỗi trường hợp sau 1. $n$ là số chẵn. 2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng $1.$Lời giải 1. Xem các số chẵn hình thức $\overline {abcde} $ kể cả $a = 0$, có $4$ cách chọn $e \in \{ 0,2,4,6\} $, vì là số chẵn. Sau đó chọn $a$, $b$, $c$, $d$ từ $X\backslash \{ e\} $, số cách chọn là $A_7^4 = 840.$ Vậy có $ = 3360$ số chẵn hình thức. Ta loại những số có dạng $\overline {0bcde} .$ Có $3$ cách chọn $e$, và $A_6^3$ cách chọn $b$, $c$, $d$ từ $X\backslash \{ 0,e\} .$ Vậy có $3.{\rm{ }}A_6^3 = 360$ số chẵn có dạng $\overline {0bcde} .$ Kết luận có $3360 – 360 = 3000$ số thoả yêu cầu đề bài. 2. $n = \overline {abcde} .$ + Xem các số hình thức $\overline {abcde} $ kể cả $a= 0$. Có $3$ cách chọn vị trí cho $1.$ Sau đó chọn chữ số khác nhau cho $3$ vị trí còn lại từ $X\backslash \{ 1\} $ có $A_7^4$ cách. Như thế có $ = 2520$ số hình thức thoả yêu cầu đề bài. + Xem các số hình thức $\overline {0bcde} .$ Có $2$ cách chọn vị trí cho $1.$ Chọn chữ số khác nhau cho $3$ vị trí còn lại từ $X\backslash \{ 0,1\} $, số cách chọn là $A_6^3.$ Như thế có $ = 240$ số hình thức dạng $\overline {0bcde} .$ Kết luận số các số $n$ thoả yêu cầu đề bài là $2520 – 240 = 2280$ 4 Từ $5$ chữ số $0$, $1$, $3$, $5$, $7$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $4$ chữ số khác nhau và không chia hết cho $5.$Lời giải + Trước hết ta tìm số các số gồm $4$ chữ số khác nhau Có $4$ khả năng chọn chữ số hàng ngàn không chọn chữ số $0$. Có $A_4^3$ khả năng chọn $3$ chữ số cuối. Vậy có $ = = 96$ số. + Tìm số các số gồm $4$ chữ số khác nhau và chia hết cho $5$ Nếu chữ số tận cùng là $0$ có $A_4^3 = 24$ số. Nếu chữ số tận cùng là $5$ có $3$ khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có $A_3^2 = 6$ khả năng chọn $2$ chữ số cuối. Vậy có $ = 18$ số. Do đó có $24 + 18 = 42$ số gồm $4$ chữ số khác nhau và chia hết cho $5.$ Vậy có $96 – 42 = 54$ số gồm $4$ chữ số khác nhau và không chia hết cho $5.$Bài 5 Cho các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5.$ Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được 1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một. 2. Bao nhiêu số chia hết cho $5$, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một. 3 Bao nhiêu số chia hết cho $9$, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi giải 1 Gọi $\overline {abcd} $ là số tự nhiên chẵn gồm $4$ chữ số khác nhau đôi một, khi đó $d$ phải là một số chẵn. Trường hợp 1 Xét $d = 0$, khi đó số cách chọn các chữ số $a$, $b$, $c$ là $A_5^3 = 60.$ Trường hợp 2 Xét $d \ne 0$, suy ra có $2$ cách chọn $d.$ Có $4$ cách chọn $a.$ Có $4$ cách chọn $b.$ Có $3$ cách chọn $c.$ Theo quy tắc nhân có $ = 96$ số. Vậy theo quy tắc cộng có $60 + 96 = 156$ số chẵn. 2 Gọi $\overline {abc} $ là số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau đôi một và $\overline {abc} $ chia hết cho $5.$ Trường hợp 1 Xét $c = 0$, khi đó Có $5$ cách chọn $a.$ Có $4$ cách chọn $b.$ Theo quy tắc nhân có $ = 20$ số tận cùng bằng $0.$ Trường hợp 2 Xét $c =5$, khi đó Có $4$ cách chọn $a.$ Có $4$ cách chọn $b.$ Theo quy tắc nhân có $ =16$ số tận cùng bằng $5.$ Vậy theo quy tắc cộng có $20+ 16 = 36$ số chia hết cho $5.$ 3 Gọi $\overline {abc} $ là số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau đôi một và $\overline {abc} $ chia hết cho $9.$ Khi đó $a+b+c$ phải chia hết cho $9$, suy ra $a$, $b$, $c$ thuộc một trong các tập số $\{ 0;4;5\} $, $\{ 2;3;4\} $, $\{ 1;3;5\} .$ + Với tập số $\{ 0;4;5\} $ lập được $4$ số là $450$; $540$; $405$; $504.$ + Với tập số $\{ 2;3;4\} $, $\{ 1;3;5\} $, mỗi tập lập được $3!$ số có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $9.$ Vậy có $4 + = 16$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho $9.$Bài 6 Có bao nhiêu số lẻ gồm $6$ chữ số, chia hết cho $9$?Lời giải Chữ số lẻ nhỏ nhất có $6$ chữ số và chia hết cho $9$ là $100017$ và chữ số lẻ lớn nhất có $6$ chữ số và chia hết cho $9$ là $999999.$ Để lập các số lẻ tiếp theo số $100017$ có $6$ chữ số và chia hết cho $9$ ta chỉ cần cộng số đó với $18.$ Như vậy ta có một cấp số cộng với ${u_1} = 100017$, ${u_n} = 999999$, $d = 18.$ Ta có ${u_n} = {u_1} + n – 1d$ $ \Leftrightarrow 999999 = 100017 + n – 118$ $ \Leftrightarrow n = 50000.$ Vậy tất cả có $50000$ số lẻ gồm $6$ chữ số, chia hết cho $9.$Bài 7 1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm $3$ chữ số khác nhau đôi một? 2. Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn có $5$ chữ số đôi một khác nhau?Lời giải 1. Có $9$ cách chọn chữ số hàng trăm, $9$ cách chọn chữ số hàng chục, $8$ cách chọn chữ số hàng đơn vị. Vậy có $ = 648$ số. + Trường hợp 1 Chữ số tận cùng bằng $0.$ Bốn chữ số đứng đầu được chọn tuỳ ý trong $7$ chữ số còn lại nên số các số tạo thành là $A_7^4 = 840.$ + Trường hợp 2 Chữ số tận cùng khác $0.$ Chữ số tận cùng có $3$ cách chọn từ $2$, $4$, $6$. Chữ số đứng đầu có $6$ cách chọn. $3$ chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong $6$ chữ số còn lại. Suy ra số các số tạo thành $ = 2160.$ Vậy có tất cả $840 + 2160 = 3000$ 8 Cho tập $A = \{ 1,2,3,4,5,6\} .$ a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau lập từ $A$ sao cho tổng $3$ chữ số đầu nhỏ hơn tổng $3$ chữ số sau đúng $1$ đơn vị. b Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau lập từ $A$ và chia hết cho $4.$Lời giải a Ta có $1+ 2+ 3+ 4+ 5+6 = 21.$ Vì số tự nhiên cần lập có $6$ chữ số khác nhau và tổng $3$ chữ số đầu nhỏ hơn tổng $3$ chữ số sau $1$ đơn vị, do đó tổng $3$ chữ số đầu bằng $10$ và tổng $3$ chữ số sau bằng $11.$ Suy ra $3$ chữ số đầu thuộc một trong các tập số sau $\{ 1;3;6\} $, $\{ 1;4;5\} $, $\{ 2;3;5\} $, còn lại là $3$ chữ số sau. Với mỗi tập số có $3! = 6$ cách sắp xếp $3$ chữ số đầu và $3! = 6$ cách sắp xếp $3$ chữ số sau. Vậy có $ = 108$ số tự nhiên có $6$ chữ số sao cho tổng $3$ chữ số đầu nhỏ hơn tổng $3$ chữ số sau $1$ đơn vị. b Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $n = \overline {abcd} .$ Vì $n$ chia hết cho $4$ nên $\overline {cd} $ phải chia hết cho $4.$ Do đó $\overline {cd} $ có thể là $12$, $16$, $24$, $32$, $36$, $52$, $56$, $64$ có $8$ trường hợp của $\overline {cd} $. Mỗi trường hợp của $\overline {cd} $ có $A_4^2 = 12$ cách chọn $2$ chữ số cho $a$ và $b.$ Vậy có $ = 96$ số có $4$ chữ số khác nhau và chia hết cho $4.$Bài 9 Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm $7$ chữ số khác nhau?Lời giải Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là $0$ hoặc $2$, $4$, $6$, $8.$ + Trường hợp chữ số đứng cuối là $0$ thì $6$ chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập $6$ của $8$ phần tử. Do đó có $A_8^6$ số thuộc loại này. + Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số $2$, $4$, $6$, $8$ thì $6$ chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập $6$ của $8$ phần tử kể cả số có chữ số $0$ đứng đầu. Vậy số các số loại này là $4.\left {A_8^6 – A_7^5} \right.$ Vậy tất cả có $A_8^6 + 4\left {A_8^6 – A_7^5} \right = 90720$ 10 Từ chín chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, người ta lập ra các số tự nhiên gồm $9$ chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm là $4.$ a Có bao nhiêu số tự nhiên như thế? b Trong những số đó có bao nhiêu số chia hết cho $25.$Lời giải a Mỗi số tự nhiên tạo thành là một hoán vị của $8$ số $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ vì số $4$ đã xếp ở hàng trăm. Vậy có $8! = 40320$ số. b Chú ý các số tự nhiên có hai chữ số trở lên chia hết cho $25$ thì hai chữ số tận cùng phải chia hết cho $25$ thì hai số tận cùng có thể là $00$ hoặc $25$, hoặc $50$, hoặc $75.$ Do các chữ số khác nhau và khác $0$ nên ta chỉ có $2$ trường hợp của hai số tận cùng thỏa mãn là $25$ hoặc $75.$ Mỗi trường hợp có $6! = 720$ số tạo thành. Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là $ = 1440$ 11 Cho tập $E = \{ 1;2;3;4;5;6;7\} .$ Từ tập $E$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm $5$ chữ số khác giải Gọi $n = \overline {abcde} $ là số tự nhiên cần tìm. Có $3$ cách chọn $e.$ Có $A_6^4 = 360$ cách chọn các chữ số $a$, $b$, $c$, $d.$ Vậy có $ = 1080$ 12 Từ $5$ chữ số $0$, $1$, $2$, $5$, $9$ có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm $4$ chữ số khác giải Số cần tìm có dạng $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} .$ Chọn ${a_4}$ từ $\{ 1,5,9\} $ $ \Rightarrow $ có $3$ cách chọn. Chọn ${a_1}$ từ $\{ 0,1,2,5,9\} \backslash \left\{ {0,{a_4}} \right\}$ $ \Rightarrow $ có $3$ cách chọn. Chọn ${a_2}$ từ $\{ 0,1,2,5,9\} \backslash \left\{ {{a_1},{a_4}} \right\}$ $ \Rightarrow $ có $3$ cách chọn. Chọn ${a_3}$ từ $\{ 0,1,2,5,9\} \backslash \left\{ {{a_1},{a_2},{a_4}} \right\}$ $ \Rightarrow $ có $2$ cách chọn. Vậy tất cả có $ = 54$ số thoả mãn yêu cầu đề 13 Người ta viết các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. 1. Có bao nhiêu số lẻ gồm $6$ chữ số được sắp thành? 2. Có bao nhiêu số chẵn gồm $6$ chữ số được sắp thành?Lời giải Số có $6$ chữ số khác nhau có dạng $\overline {abcdef} $ với $a \ne 0.$ 1. Vì số tạo thành là số lẻ nên $f \in \{ 1,3,5\} .$ Do đó $f$ có $3$ cách chọn. $a$ có $4$ cách chọn trừ $0$ và $f$. $b$ có $4$ cách chọn trừ $a$ và $f$. $c$ có $3$ cách chọn trừ $a$, $b$, $f$. $d$ có $2$ cách chọn trừ $a$, $b$, $c$, $f$. $e$ có $1$ cách chọn trừ $a$, $b$, $c$, $d$, $f$. Vậy có $ = 288$ số. 2. Vì số tạo thành là số chẵn nên $f \in \{ 0,2,4\} .$ + Khi $f = 0$ thì $a,b,c,d,e$ là một hoán vị của $1,2,3,4,5.$ Do đó có $5!$ số. + Khi $f \in \{ 2,4\} $ thì $f$ có $2$ cách chọn. $a$ có $4$ cách chọn. $b$ có $4$ cách chọn. $c$ có $3$ cách chọn. $d$ có $2$ cách chọn. $e$ có $1$ cách chọn. Do đó có $ = 192$ số. Vậy có $120 + 192 = 312$ số 14 Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho $9.$Lời giải Gọi $n = \overline {abc} $ là số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau, khi đó Có $5$ cách chọn $a.$ Có $A_5^2 = 20$ cách chọn $2$ chữ số xếp vào $b$, $c.$ Suy ra có $ = 100$ số. Xét các số tự nhiên dạng $n = \overline {abc} $ có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $9.$ Suy ra $a+b+c$ phải chia hết cho $9.$ Do đó $a$, $b$, $c$ thuộc một trong các tập số sau $\{ 0;4;5\} $, $\{ 1;3;5\} $, $\{ 2;3;4\} .$ + Xét $a$, $b$, $c$ thuộc tập số $\{ 0;4;5\} $ Có $2$ cách chọn $a.$ Có $2$ cách chọn $b.$ Có $1$ cách chọn $c.$ Suy ra có $ = 4$ số. + Xét $a$, $b$, $c$ thuộc một trong $2$ tập số $\{ 1;3;5\} $, $\{ 2;3;4\} $ Mỗi tập số có thể lập được $3! = 6$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau. Suy ra có $ = 12$ số. Vậy tất cả có $4 + 12 = 16$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $9.$ Vậy có $100 – 16 = 84$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và không chia hết cho $9.$ Bài 15 Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm $7$ chữ số khác nhau?Lời giải Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là $0$ hoặc $2$, $4$, $6$, $8.$ + Trường hợp chữ số đứng cuối là $0$ thì $6$ chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập $6$ của $8$ phần tử. Do đó có $A_8^6$ số thuộc loại này. + Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số $2$, $4$, $6$, $8$ thì $6$ chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập $6$ của $8$ phần tử kể cả số có chữ số $0$ đứng đầu. Vậy số các số loại này là $4\left {A_8^6 – A_7^5} \right.$ Vậy tất cả có $A_8^6 + 4\left {A_8^6 – A_7^5} \right = 90720$ 16 Xét dãy số gồm $7$ chữ số khác nhau mỗi chữ số được chọn từ $0$, $1$, ….,$8$, $9$ thỏa chữ số đầu tiên bằng $7$, chữ số cuối không chia hết cho $5.$ Hỏi có bao nhiêu cách giải Gọi số tự nhiên cần lập có dạng $n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} .$ Có $1$ cách chọn ${a_1}$, là chữ số $7.$ Có $7$ cách chọn ${a_7}$, trừ các chữ số $0$, $5$, $7.$ Có $A_8^5 = 6720$ cách chọn $5$ chữ số xếp vào các vị trí còn lại trong $n.$ Vậy có $ = 47040$ 17 Có $100$ tấm bìa hình vuông được đánh số từ $1$ đến $100.$ Ta lấy ngẫu nhiên một tấm bìa. Tính xác suất để lấy được a Một tấm bìa có số không chứa chữ số $5.$ b Một tấm bìa có số chia hết cho $2$ hoặc $5$ hoặc cả $2$ và $5.$Lời giải Chọn ngẫu nhiên một tấm bìa thì có $100$ cách. a Số tấm bìa được đánh số có một chữ số không chứa chữ số $5$ là $8$ tấm $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $7$, $8$, $9$. Số tấm bìa được đánh số có $2$ chữ số không chứa chữ số $5$ có dạng $\overline {ab} $ $a,b \ne 5.$ Có $8$ cách chọn $a$ trừ $0$ và $5$. Có $9$ cách chọn $b.$ Suy ra có $ = 72$ tấm bìa. Vậy tất cả có $8 + 72 = 80$ tấm bìa không chứa chữ số $5.$ Và chọn ngẫu nhiên một tấm bìa như thế thì có $80$ cách. Vậy xác suất chọn được một tấm bìa không chứa chữ số $5$ là $\frac{{80}}{{100}} = 0,8.$ b Số tấm bìa có ghi số không chia hết cho $2$ hoặc $5$ là số tấm bìa có ghi số không tận cùng bằng chữ số chẵn hoặc chữ số $5.$ Số tấm bìa có ghi số không chia hết cho $2$ hoặc $5$ có $1$ chữ số là $4$ tấm ghi số $1$, $3$, $7$, $9$. Số tấm bìa có ghi số không chia hết cho $2$ hoặc $5$ có $2$ chữ số có dạng $\overline {ab} $ với $b$ lẻ và $b$ khác $5$. Có $9$ cách chọn $a.$ Có $4$ cách chọn $b.$ Suy ra có $ = 36$ tấm. Vậy tất cả có $4 + 36 = 40$ tấm bìa có số không chia hết cho $2$ hoặc $5.$ Suy ra có $100 – 40 = 60$ tấm bìa có ghi số chia hết cho $2$ hoặc $5$ hoặc cả $2$ và $5.$ Vậy xác suất của lấy được một tấm bìa có số chia hết cho $2$ hoặc $5$ hoặc cả $2$ và $5$ là $\frac{{60}}{{100}} = 0,6.$Bài 18 Có bao nhiêu số tự nhiên $X$ có $5$ chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số $1$ và $X$ chia hết cho $2.$Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $X = \overline {abcde} .$ Ta nhận thấy $X$ chia hết cho $2$ nên $e$ không thể là chữ số $1$ được, do đó ta xét các trường hợp sau Nếu $e = 0$, khi đó Có $4$ cách chọn vị trí trong $X$ để xếp chữ số $1.$ Có $A_8^3 = 336$ cách chọn $3$ chữ số để xếp vào các chữ số còn lại trong $X.$ Suy ra trường hợp này có $ = 1344$ số. Nếu $e \ne 0$, khi đó ta xét $2$ trường hợp nhỏ sau + Nếu $a=1$, khi đó Có $4$ cách chọn $e.$ Có $A_8^3 = 336$ cách chọn $3$ chữ số để xếp vào các chữ số còn lại trong $X.$ Suy ra có $ = 1344$ số. Nếu $a \ne 1$, khi đó Có $4$ cách chọn $e.$ Có $7$ cách chọn $a$ khác $e$, khác $0$ và khác $1$. Có $3$ cách chọn vị trí để xếp chữ số $1$ trừ $a$ và $e$. Có $A_7^2 = 42$ cách chọn $2$ chữ số để xếp vào các chữ số còn lại trong $X.$ Suy ra có $ = 3528$ số. Suy ra trường hợp này có $1344 + 3528 = 4872$ số. Vậy tất cả có $1344 + 4872 = 6216$ số $X.$Bài 19 Từ các chữ số $1$; $3$; $4$; $5$; $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $3$ chữ số khác nhau và số tự nhiên đó chia hết cho $3.$Lời giải Gọi $n = \overline {abc} $ là số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán. Do $n$ chia hết có $3$ nên $a + b + c$ phải chia hết cho $3.$ Suy ra $a$, $b$, $c$ thuộc một trong các tập số sau $\{ 1;3;5\} $, $\{ 1;5;6\} $, $\{ 3;4;5\} $, $\{ 4;5;6\} .$ Mỗi tập số có thể lập được $3! = 6$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $3.$ Vậy có $ = 24$ 20 Cho tập $E = \{ 1;2;3;4;5;6;7\} .$ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau lập từ $A$ sao cho số tự nhiên đó chia hết cho $6$ và có mặt chữ số $1.$Lời giải Gọi số tự nhiên có dạng $n = \overline {abcd} .$ Số tự nhiên chia hết cho $6$ là số tự nhiên vừa chia hết cho $2$ và chia hết cho $3.$ Do đó $d$ chẵn và $a+b+c+d$ phải chia hết cho $3$, và luôn có mặt chữ số $1.$ Suy ra $a$, $b$, $c$, $d$ thuộc một trong các tập số sau $\{ 1;2;3;6\} $, $\{ 1;2;4;5\} $, $\{ 1;2;5;7\} $, $\{ 1;3;4;7\} $, $\{ 1;3;5;6\} .$ + Xét $3$ tập hợp chứa $1$ chữ số chẵn là $\{ 1;2;5;7\} $, $\{ 1;3;4;7\} $, $\{ 1;3;5;6\} .$ Mỗi tập hợp có $1$ cách chọn $d$, và $3!$ cách xếp $3$ chữ số còn lại. Suy ra có $ = 18$ số. + Xét $2$ tập chứa $2$ chữ số chẵn là $\{ 1;2;3;6\} $, $\{ 1;2;4;5\} .$ Mỗi tập hợp có $2$ cách chọn $d$, và $3!$ cách xếp $3$ chữ số còn lại. Suy ra có $ số. Vậy tất cả có $18 + 24 = 42$ số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau, chia hết cho $6$ và luôn có mặt chữ số $1.$Bài 21 Cho $5$ chữ số $0$; $1$; $2$; $3$; $6.$ Từ $5$ chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và số tự nhiên đó không chia hết cho $6.$Lời giải Gọi $n = \overline {abcde} $ là số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và không chia hết cho $6.$ Số $n$ phải không chia hết cho $3$ hoặc không chia hết cho $2.$ Ta nhận thấy $0 + 1 + 2 + 3 + 6 = 12$ chia hết cho $3$, do đó $n$ luôn chia hết cho $3.$ Do đó để $n$ không chia hết cho $6$ thì $n$ phải là một số tự nhiên lẻ, khi đó Có $2$ cách chọn $e.$ Có $3$ cách chọn $a.$ Có $3!$ cách chọn $3$ chữ số còn lại xếp vào $b$, $c$, $d.$ Vậy có $ = 36$ số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và không chia hết cho $6.$Bài 22 Có bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và không chia hết cho $10.$Lời giải Số tự nhiên cần tìm có dạng $n = \overline {abcde} .$ Do $n$ không chia hết cho $10$ nên $e \ne 0$, khi đó Có $9$ cách chọn $a.$ Có $8$ cách chọn $e.$ Có $A_8^3 = 336$ cách chọn ra $3$ chữ số xếp vào $b$, $c$, $d.$ Vậy có $ = 24192$ số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và không chia hết cho $10.$Bài 23 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau, sao cho a Chia hết cho $5$ và bắt đầu bằng $5.$ b Chia hết cho $2$ và bắt đầu bằng $4.$Lời giải Gọi $n = \overline {abcde} .$ a Chữ số đầu tiên bằng $5$ nên $a= 5$ và chia hết cho $5$ nên $e = 0.$ Có $8$ cách chọn $b.$ Có $7$ cách chọn $c.$ Có $6$ cách chọn $d.$ Vậy có $ = 336$ số. b Số tự nhiên có dạng $n = \overline {4bcde} .$ Do $n$ chia hết cho $2$ nên $e \in \{ 0;2;6;8\} .$ + Nếu $e =0$, khi đó có $A_8^3 = 336$ cách chọn các chữ số $b$, $c$, $d.$ Suy ra trường hợp này có $336$ số. + Nếu $e \ne 0$, khi đó Có $3$ cách chọn $e.$ Có $A_8^3 = 336$ cách chọn các chữ số $b$, $c$, $d.$ Vậy trường hợp này có $ = 1008$ số. Vậy tất cả có $336 + 1008 = 1344$ 24 Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và chia hết cho $8$?.Lời giải Gọi số tự nhiên cần lập có dạng $n = \overline {abcde} .$ Vì $n$ chia hết cho $8$ nên $\overline {cde} $ phải chia hết cho $8$, do đó $\overline {cde} $ có thể là $152$, $232$, $352$, $432$, $512.$ Mỗi trường hợp của $\overline {cde} $ có $2!$ cách chọn $a$ và $b.$ Vậy có $ = 10$ 25 Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $15$?.Lời giải Gọi số tự nhiên cần lập có dạng $n = \overline {abc} .$ Vì $n$ chia hết cho $15$ nên $n$ vừa chia hết cho $3$ và vừa chia hết cho $5.$ Do đó ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {c = 5}\\ {a + b + c \vdots 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {c = 5}\\ {a + b + 5 \vdots 3} \end{array}} \right..$ Vậy $a$, $b$ thuộc một trong các tập số sau $\{ 1;3\} $, $\{ 1;6\} $, $\{ 3;4\} $, $\{ 4;6\} .$ Mỗi tập số trên có $2!$ cách chọn $a$, $b.$ Vậy có $ 8$ 26 Có bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau và chia hết cho $20$?Lời giải Gọi số tự nhiên cần lập có dạng $n = \overline {abcde} .$ Vì $n$ chia hết cho $20$ nên $n$ vừa chia hết cho $10$ và được bao nhiêu thì chia hết cho $2.$ Nghĩa là trong số tự nhiên $n$ phải có $e = 0$ và $d$ là một chữ số chẵn. Khi đó Có $1$ cách chọn $e.$ Có $4$ cách chọn $d.$ Có $A_8^3 = 336$ cách chọn $3$ chữ số xếp vào $a$, $b$, $c.$ Vậy có $ = 1344$ số có $5$ chữ số khác nhau và chia hết cho $20.$Bài 27 Từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho $18.$Lời giải Gọi $n = \overline {abc} $ là số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau, khi đó Có $5$ cách chọn $a.$ Có $A_5^2 = 20$ cách chọn $2$ chữ số xếp vào $b$, $c.$ Suy ra có $ = 100$ số. Xét các số tự nhiên dạng $n = \overline {abc} $ có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $18.$ Do $n$ chia hết cho $18$ nên $n$ vừa chia hết cho $9$ và vừa chia hết cho $2.$ Suy ra $c$ là một chữ số chẵn và $a + b + c$ phải chia hết cho $9.$ Do đó $a$, $b$, $c$ thuộc một trong các tập số sau $\{ 0;4;5\} $, $\{ 2;3;4\} .$ + Xét $a$, $b$, $c$ thuộc tập số $\{ 0;4;5\} $ Có thể lập được $3$ số thỏa mãn là $450$ hoặc $540$ hoặc $504.$ Suy ra có $ = 4$ số. Xét $a$, $b$, $c$ thuộc tập số $\{ 2;3;4\} $ Do $c$ chẵn nên có $2$ cách chọn $c.$ Có $2$ cách chọn $a.$ Có $1$ cách chọn $b.$ Suy ra trường hợp này có $ = 4$ số. Vậy tất cả có $3 + 4 = 7$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và chia hết cho $18.$ Suy ra có $100 – 7 = 93$ số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau và không chia hết cho $18.$ Trên một quy trình hợp lý hiện đại, chia cho 15 không phải là quá khủng khiếp. Hướng dẫn tối ưu hóa AMD xác định nó dựa trên thương số giá trị đang được chia và nó chiếm vị trí 8 + bit của bit quan trọng nhất trong thương số. Vì vậy, nếu các con số của bạn có bộ bit thứ 63, bạn sẽ có 71 chu kỳ - tất nhiên là một hướng dẫn khá dài. Nhưng đối với một số 32 bit với một vài số không ở các bit trên cùng, chúng ta đang nói đến 30-40 chu kỳ. Nếu số phù hợp với giá trị 16 bit, chúng tôi tối đa là 23 chu có phần còn lại là một vòng quay đồng hồ nữa trên nhiên, nếu bạn đang làm điều này TẤT CẢ thời gian, bạn có thể thấy rằng thời gian này là khá dài, nhưng tôi không chắc có một cách nhỏ để tránh như những người khác đã nói, trình biên dịch có thể thay thế nó bằng một thứ gì đó tốt hơn. Nhưng 15 thì không, theo hiểu biết của tôi thì có một giải pháp nhanh rõ ràng nếu bạn có 16 thay vì 15, thì chúng ta có thể sử dụng thủ thuật của x & 15.Nếu đó là một phạm vi giới hạn, bạn có thể xây dựng một bảng [ vectorví dụ bảng này sẽ lưu trữ 1 bit cho mỗi mục nhập], nhưng bạn sẽ sớm gặp phải vấn đề rằng quyền truy cập bộ nhớ không được lưu trong bộ nhớ cache chỉ mất một phép toán chia. ..Có một số cách thú vị để tìm ra một số có chia hết cho 3, 5, hay không bằng cách cộng các chữ số, nhưng thật không may, những cách đó chỉ hoạt động dựa trên các chữ số thập phân, liên quan đến một chuỗi dài các phép chia. 7 hữu ích 1 bình luận chia sẻ

số chia hết cho 15